Logicando: Pagando a conta do McFill

Hoje é quinta-feira, dia de Logicando! Sinta-se desafiado a responder o problema abaixo.

Três alunos do Mackenzie resolveram matar aula e foram até o McFill bater papo e tomar alguma coisa. Depois de algumas horas pediram a conta, que deu um total de R$30,00. Cada um deu R$10,00. O garçom pegou o dinheiro e levou ao caixa, onde o dono recebeu e falou para o garçom:

- Esses três batem cartão aqui todos os dias, então vou dar R$5,00 de desconto!

Abrindo o caixa, ele entregou cinco notas de R$1,00. O garçom, sangue boníssimo, fez o seguinte: pegou R$2,00 para ele e deu R$1,00 para cada um dos caras. No final cada um dos amigos pagou o seguinte:

R$10,00 - R$1,00 que foi devolvido = R$9,00.

Logo, se cada um gastou R$ 9,00, o que os três gastamos juntos foi R$ 27,00. Mas o garçom pegou R$2,00 para ele! Temos:

Alunos: R$27,00
Garçom: R$2,00
TOTAL: R$29,00

Pergunta: onde foi parar o outro R$1,00?

Logo abaixo coloco a resposta para o Logicando da semana passada, A boiada. Se você ainda não resolveu, clique aqui e quebre a cabeça antes de ler a resposta! Na próxima quinta-feira (14/02) tem a resposta do Logicando de hoje e um novo desafio.

Solução: A boiada

Como todo problema, o problema da boiada pode ser solucionado de mais de uma forma. Se você quiser ver uma resposta possível (existe mais de uma possibilidade, lembrando que a resposta deve conter 100 cabeças divididas entre bezerros, vacas e bois e o total gasto deve ser exatamente $100,00) vá direto ao final do texto.

O problema não nos fala qual o valor mínimo ou máximo para cada cabeça de gado, mas nos dá uma proporção quanto ao preço: a vaca custa metade do preço do boi e o bezerro custa dez vezes menos que uma vaca. Podemos dizer, portanto:

bezerro = $
vaca = 10 x $
boi = 2 x 10 x $ = 20 $

Mantendo a proporção e preocupados em não gastar mais que $100, podemos jogar valores usando o bom senso. Começando com $1,00 por bezerro (o que dariam 100 bezerros e nada mais), podemos reduzir o valor pela metade (pela proporção pode-se entender que o preço do bezerro não pode ser mais que a metade do custo total) e encontramos $0,50. Daí temos a vaca por $5,00 e o boi por $10,00. Dai fica fácil saber quantos de cada! Entendeu? Foi assim que meu sogro chegou em 2 minutos nessa resposta. Claro, eu por minha vez... levei bem mais tempo e me perdi nas várias equações que ousei pensar depois de um longo dia de trabalho! Bela desculpa, não acha? :

A resposta pode ser encontrada através de equações! Vamos matematicar essa brincadeira:

boi = $ 10,00
vaca = boi/2 = $10/2 = $ 5,00
bezerro = vaca / 10 = (0,5 x $) / 10 = $ 0,50

Agora vamos montar uma equação. Pensando que são a bezerros, b vacas e c bois as quantidades que vamos comprar de cada animal, achamos a equação:

a + b + c = 100 (I)

Colocando os valores encontrados na proporção acima, temos:

0,5 a + 5 b + 10 c = 100

Para facilitar nossa vida vamos multiplicar ambos os membros da equação por 2, o que não altera a equação e elimina o número quebrado:

2 * (0,5 a + 5 b + 10 c) = 2 * 100

a + 10 b + 20 c = 200 (II)

Com isso temos duas equações! Lembrando que não existe fração de bois - você não pode dizer que vai comprar 64,5 bezerros ou pagar 7,8 vacas a não ser que esteja num açougue, mas dai esse problema seria uma pegadinha -, as variáveis a, b e c são números inteiros. Subtraindo membro a membro as equações (II - I) temos:

(a + 10 b + 20 c) - (a + b + c) = 200 - 100

9 b + 19 c = 100

Assim podemos deixar em função de uma das variáveis, achando:

9 b = 100 - 19 c

b = (100 - 19 c) / 9

Sabemos que c é um número inteiro (sem meio gado, certo?), então podemos dizer que c = x (sendo x um número inteiro que nos ajude a chegar na solução). Fazemos isso para eliminar as variáveis! Dai temos:

b = (100 - 19 x) / 9

Mais uma vez vamos usar a equação I, substituindo os valores de b e c. Teremos:

a + b + c = 100

a + ((100 - 19 x) / 9) + x = 100

Vamos tirar o divisor (no nosso caso, o 9) para facilitar as contas, multiplicando os membros por 9:

9 a + 100 - 19 x + 9 x = 900

9 a - 10 x + 100

Vamos isolar o a agora:

a = (900 - 100 + 10 x) / 9

Vamos ver o que temos até agora:

a = (900 - 100 + 10 x) / 9

b = (100 - 19 x) / 9

c = x

Como resolver essas equações? Como meio bois não existem, vamos assumir o menor número inteiro para x. Assim teremos:

a = (900 - 100 + 10 x) / 9
a = (900 - 100 + 10*1) / 9
a = (810) / 9
a = 90

b = (100 - 19 x) / 9
b = (100 - 19*1) / 9
b = 81 / 9
b = 9

c = x
c = 1

Pronto! A resposta é:

90 bezerros custando $ 0,50 cada = $ 45,00
9 vacas custando $ 5,00 cada = $ 45,00
1 boi custando $10,00 cada = $ 10,00
TOTAL: 100 cabeças de gado a $100,00

CURIOSIDADE
Você sabia que o tipo de equação que acabamos de usar para resolver o problema da boiada chama-se equação diofantina? Ela serve para encontrar soluções inteiras para algumas tipos de equação. Se quiser saber mais, clique aqui